## 1. 皮尔逊相关性分析

### 1.1 使用条件

1. 连续变量
2. 正态分布
3. 线性相关

### 1.2 定义

皮尔逊相关系数定义为两个变量的协方差和标准差的商。

1. 对于总体：
$$
\rho=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]}{\sigma_X\sigma_Y}
$$

2. 对于样本：
$$
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n{(Y_i-\overline{Y})}}}
$$
### 1.3 判定方法

使用皮尔逊相关系数需要验证变量满足连续、符合正态分布并且为线性相关关系，其中，正态分布和线性相关需要验证。

1. 正态分布
	可以使用KS检验来验证变量是否符合正态分布；
2. 线性相关
	一般通过散点图验证；

## 2. 斯皮尔曼相关性分析

### 2.1 使用条件

1. 成对的等级评定数据或由连续变量转化来的等级数据；

### 2.2 定义

斯皮尔曼相关系数可定义为等级变量的皮尔逊相关系数

$$
\rho=\frac{\sum_i{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}}{\sqrt{\sum_i{(x_i-\overline{x})^2}\sum_i{(y_i-\overline{y})^2}}}
$$
其中，$x_i、y_i、\overline{x}、\overline{y}$均为等级数据，对于连续变量转化的等级数据，如有两个值相等，则在所在位置取算术平均值。

## 3. 肯德尔相关性分析

### 3.1 使用条件

1. 数据是有序的或连续的尺度信息；
2. 两个变量之间遵循单调关系；

### 3.2 定义

肯德尔相关性分析定义为，两个样本数据之间同序对，异序对的差与总对数的商；

$$
\tau=\frac{C-D}{\frac{1}{2}n(n-1)}
$$
其中，C为同序对的数量；
D为异序对的数量；
n为样本量；